Optimierungsprozesse in Labor- und Verfahrenstechnik

Erzeugung von Zielfunktionen

  • Abb. 1: Minimum einer ZielfunktionAbb. 1: Minimum einer Zielfunktion
  • Abb. 1: Minimum einer Zielfunktion
  • Abb. 2: Steilster Abstieg zum lokalen Minimum
  • Abb. 3: Lokale Minima, globales Minimum
  • Formel 1
  • Formel 2

Der Zwang zu Energieeinsparungen und immer strengeren Umweltauflagen hat die Lösung von Optimierproblemen immer dringlicher werden lassen. Was soll nun optimiert werden? Dies ist bereits eine der wichtigen Ausgangsfragen. Dazu ist eine sog. Zielfunktion zu erstellen, die z. B. den funktionalen Zusammenhang zwischen Kosten beschreibt, die minimiert werden sollen, und Parametern, wie z.B. Dicke einer Isolierung oder äußeren Abmessungen eines Behälters. Diese Funktion wird dann zusammen mit Nebenbedingungen minimiert.

Nebenbedingungen werden in Form von Gleichungen oder Ungleichungen beschrieben. Dies können beispielsweise Obergrenzen für Abmessungen sein, oder es dürfen Größen wie die Masse nicht negativ werden. Man erhält dann schließlich ein Optimierproblem der Form
minimiere F0(x)
mit den Nebenbedingungen
Fi(x) ≤ bi ; i = 1,...,m

Dabei ist der Vektor x = (x1,...,xn) die Optimierungsvariable des Problems und die Funktion F0(x) ist die Zielfunktion. Die Funktionen Fi(x) sind die Funktionen der Nebenbedingungen, während die bi die begrenzenden Werte sind. Ein Vektor x* heißt optimal (Lösung des Optimierproblems), wenn er den kleinsten Zielwert unter allen Vektoren angenommen hat, die die Nebenbedingungen erfüllen; d. h. für ein beliebiges z mit F1(z) ≤ b1,...,Fm(z) ≤ bm gilt: F0(z) ≥ F0(x*). Graphisch kann man dies für den Fall einer zweidimensionalen Funktion wie in Abbildung 1 gezeigt darstellen.

Parameteroptimierung
Die Anwendungen der Optimierung in Labor- und Verfahrenstechnik erstrecken sich über nahezu das gesamte Einsatzgebiet. Ein wichtiger Bereich, der vor allem im Labor eine große Rolle spielt, ist die Parameteroptimierung. In Büchern von Bard [1], Reinhardt et al. [2], Fletcher [3] und Rao [4] sind viele numerische Verfahren der Parameteroptimierung beschrieben. Dazu benötigt man ein Modell des Prozesses, das Parameter enthält, die dann z. B. eine minimale mittlere quadratische Abweichung bezüglich Messwerten haben sollen:

Siehe Formel 1

wobei die mi die Messwerte und die bi die zugehörigen berechneten Werte darstellen.

Um die bi zu erhalten, ist entweder ein physikalisches Modell erforderlich oder mindestens ein empirisches Modell (black box-Modell). Das physikalische Modell kann aus algebraischen Gleichungen, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen oder auch Integralgleichungen bestehen. In verfahrenstechnischen Anwendungen treten häufig differential-algebraische Gleichungssysteme auf (DAE), wobei das physikalische Modell des verfahrenstechnischen Apparates aus Differentialgleichungen und die thermodynamischen Beziehungen aus algebraischen Gleichungen bestehen. Ein differential-algebraisches System kann die folgende Form haben:

Siehe Formel 2

Dieses System kann z. B. mit der Matlab-Routine „ode15s" gelöst werden.

Optimierung von Gesamtanlagen
Ein großes Anwendungsgebiet ist die Optimierung von Gesamtanlagen. Dabei kann es sich um eine bereits bestehende Anlage handeln, wobei lediglich einige einstellbare Parameter variiert werden, um eine Zielfunktion zu minimieren. Diese Optimierungen werden häufig mit Hilfe eines Anlagensimulationsprogramms, wie z. B. Aspen, ausgeführt. Neben der Optimie­rung bestehender Anlagenverschaltungen wurden auch neu zu entwerfende Gesamtanla­gen im Rahmen der sog. Prozesssynthese optimiert. Dabei treten gemischt-ganzzah­lige Probleme auf.
Nachdem die Gleichungen des zu optimierenden Problems aufgestellt wurden, sind diese zu lösen, d. h. Extremalwerte (meist Minima) sind zu finden. Die meisten Algorithmen finden lediglich lokale Extrema, wobei der Vektor der Zielfunktionswerte in Richtung des nächstgelege­nen Extremums bewegt wird. Daneben gibt es auch Algorithmen, die globale Extrema finden (Abb. 3). Diese Algorithmen sind weniger entwickelt als solche, die lokale Extrema suchen.

Numerische Methoden, die lokale Extrema finden, sind in den Büchern [2-5] zu finden. Anwendungen auf chemische Prozesse findet man in den Literaturstellen [6,7]. Eine Übersicht über Verfahren der globalen Optimierung gibt Horst [8]. Optimierungsprobleme, insbesondere nichtlineare, sind überraschend schwierig zu lösen. Lediglich Probleme der linearen Programmierung und der Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung sind auch für sehr große Systeme gut lösbar. Lokal optimale Lösungen nichtlinearer Probleme sind ebenfalls für große Systeme leicht erfolgreich lösbar, weil die Zielfunktion und die Nebenbedingungen lediglich differenzierbar sein müssen. Die Lösung hängt jedoch vom gewählten Startvektor ab. Die Methoden der globalen Optimierung sind meist nur für Probleme mit wenigen Variablen und Nebenbedingungen in vertretbarer Zeit zu bewältigen. Computercodes sind für viele lokale und globale Algorithmen verfügbar, z. B. in der Matlab Optimization Toolbox. Testprobleme geben Floudas et al. [9] an. Eine umfassende, sechsbändige Enzyklopädie über Optimierung haben Floudas und Pardalos editiert [10].

Für viele Probleme in der Produktionsplanung, Transport, Finanzierung und Engineering müssen Entscheidungen bei Unsicherheit über Preise, Verfügbarkeit von Energie und Chemika­lien gefällt werden. Für diese Probleme wurden geeignete Algorithmen wie stochasti­sche Programmierung, stochastische dynamische Programmierung, fuzzy Programmie­rung, probabilistische Programmierung u. a. entwickelt. Eine Übersicht dazu gibt Sahinidis.

Ein Weg führt zu vielen Zielen?
Eine weitere Schwierigkeit entsteht dadurch, dass nicht nur eine Zielfunktion vorliegt, sondern mehrere Ziele gleichzeitig erreicht werden sollen, die nicht in eine Funktion zusammengefasst werden können. Sollen neben Wirtschaftlichkeit auch bestimmte Umweltziele erreicht werden, so hat man ein typisches multikriterielles Problem vorliegen. Zunächst wurden derartige Aufgaben dadurch gelöst, dass man den einzelnen Kriterien Gewichtsfaktoren zuordnete und dann doch nur eine Zielfunktion mit diesen, meist willkürlich gewählten Gewichtsfaktoren aufstellte. Das Konzept der Mehrzieloptimierung wurde bereits im Jahre 1896 von V. Pareto aufgestellt. Die Lösung derartiger Probleme umfasst in der Regel zwei Phasen, nämlich eine sog. objektive Phase, die mathematisch streng gefasst ist, und eine subjektive Phase, in der Fachleute zum jeweils ausstehenden Problem befragt werden. Deren Urteil geht in die endgültige Auswahl des paretooptimalen Punktes ein. Steuer [12] und Ehrgott [13] geben eine Zusammenfassung dieser Methoden.

Ein auch besonders für Probleme der Chemie und des Chemieingenieurwesens geeignetes Verfahren der globalen Optimierung ist die iterative dynamische Programmierung (IDP) [14], die vom Autor dieses Artikels parallelisiert wurde [15]. Das Verfahren besteht darin, dass man über den gesamten zulässigen Parameterraum zunächst ein grobes Gitter legt, das sukzessive verfeinert wird, bis die global optimale Lösung gefunden ist. Im Buch [14] werden dazu viele Beispiele aus der Regelungstechnik chemischer Prozesse, einschließlich Fortran Codes, erläutert.

Literatur
[1] Bard Y.: Nonlinear Parameter Estimation, Academic Press, New York (1970)
[2] Reinhard R. et al.: Nichtlineare Optimierung: Theorie, Numerik und Experimente, Spektrum Verlag, Heidelberg (2012)
[3] Fletcher R.: Practical Methods of Optimization, Wiley, New York (2000)
[4] Rao S.: Engineering Optimization, Wiley, New York (2009)
[5] Boyd S. und Vandenberghe L.: Convex Optimization, Cambridge University Press, Cambridge (2004)
[6] Edgar T. F. und Himmelblau D. M.: Optimization of Chemical Processes, McGraw Hill, New York (2001)
[7] Biegler L. T.: Nonlinear Programming: Concepts, Algorithms, and Applications to Chemical Processes, SIAM - Society for Industrial and Applies Mathematics (2010)
[8] Floudas C. A. et al.: Handbook of Test Problems in Local and Global Optimization, Springer Verlag, Heidelberg (2010)
[9] Floudas C. A. und Pardalos P. M.: Encyclopedia of Optimization, Springer Verlag, Heidelberg (2008)

Weitere Literatur ist beim Autor erhältlich.

 

Autor(en)

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